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L’infini est un concept mathématiques qui nous donne un sentiment de vide. On compte 1,2,3,4,5.....50....68....257....1000 et après? C’est une question dont on ignore la réponse et qui ouvre la voie à l’infini.
Dès la découverte des maths l’infini existe. Les grecs antiques en parlent. Thales, Pytagore, Démocrite, Leucipe tous ont eu une idée sur l’infini mais de façon différente.
La somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie.
Zénon nous exprime qu’il peut en être autrement: Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur une longueur de 1km (précisons que le km n’existait pas encore à l’époque). Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant le processus de division à l’infini.
La longueur totale sera ainsi égale à 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...
En effectuant les premiers termes de cette série de nombres, on s’aperçoit que plus on ajoute de termes, plus on se rapproche de 1. Voilà une somme infinie de longueurs dont le résultat est fini et égal à 1 !
Quant à Aristote il parle d’un infini potentiel, non actuel. D’après lui l’infini est éventuel mais impossible à réaliser. Il s’oppose à l’infini réel. Selon Aristote une grandeur peut être infinie de trois manières:
1)- Par composition comme les nombres;
2)-Par division comme la matière qui peut se diviser à l’infini;
3)-Par le temps comme les mouvements célestes qui n’ont ni commencement ni fin.
"L’infini c’est, dit Aristote, ce qui ne se laisse pas parcourir et n’a pas de limites”.
Archimèdes propose la méthode qui sera la base du calcul infinitésimal (calcul avec infiniment petit).
Copernic fait un petit pas vers l’infini.
Kepler dit que l’infini est métaphysique et non compréhensible par la pensée. D’après lui l’infinité de l’univers n’est pas fondée sur l’expérience et il n’y a pas de signification physique.
La pensée de Kant est que le monde est infini car Dieu est infini et que le monde dépend de Dieu. Ses univers-iles préfigurent la découverte des galaxies.
Albert Einstein dit que le monde est à la fois fini (mesurable) et sans limite.
L’histoire moderne de l’infini mathématiques commence avec Bernard Bolzano. Il est le premier qui défend l’idée que l’infini peut être introduit en calcul mathématiques et dans le calcul infinitésimal en particulier.
Mais c’est avec le russe Georg Cantor que l’infini prend réellement son envol au même siècle. L'infini des nombres entiers est symbolisé par א 0
En langage mathématique : א 0 est le cardinal infini des nombres entiers
Aleph 1 (א 1) est celui du nombre de points sur une portion de courbe.
Il se pose également une question étrange: Existe-t-il d'autres infinis entre א 0 et א 1 ? On ne le saura jamais.
Mais un infini peut-il être plus grand qu’un autre ? Existe-t-il des infinis équivalents ?
Pour comprendre, considérons l’ensemble des entiers positifs et celui de leur carré. A chaque entier, il est possible d’associer son carré (1 à 1, 2 à 4, 3 à 9, …). Donc si à chaque élément de l’un, il est possible d’associer un élément de l’autre et réciproquement, ces deux ensembles ont la même taille et pourtant l’ensemble des entiers contient celui de leur carré! Ces deux infinis équivalents ont la même valeur; alors un infini ne peut être plus grand qu'un autre.
LE PARADOXE DE L’HÔTEL INFINI
Imaginons un hôtel qui comprend une infinité de chambres toutes occupées. Le paradoxe est le suivant: s’il arrive subitement une infinité de nouveaux clients, l’hôtel pourra tous les loger!
La ruse consiste à déplacer les anciens occupants: celui de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 passe dans la chambre 6, celui de la chambre 4 passe dans la chambre 8 et ainsi de suite de façon à ce que les anciens occupants n’occupent que des chambres à numéro pair. Ainsi les nouveaux arrivants n’auront plus qu’à se loger dans les chambres à numéro impair qui sont en nombre infini!
L’INFINI
L’homme a inventé un symbole pour arrêter le mouvement de sa pensée, sinon même en imaginant le très grand il faut imaginer qu’il existe encore bien plus grand et encore plus grand. Alors il a fallu donner un nom à cela: “infini”. Si le zéro part de rien, l’infini englobe le Tout, le Toujours, le Etc…
∞ était utilisé par les romains pour représenter 1000, puis un grand nombre. En 1665, John Wallis, Professeur à Oxford, a utilisé ce symbole pour désigner l'infini pour la première fois dans son œuvre "Arithmetica Infinitorum "
Le symbole ∞ représente un huit couché ou huit paresseux.
Suite à toutes ces explications sur l‘infini, il faut le définir tout simplement comme “tout ce qui n’est pas fini”. Par exemple, les diviseurs de 12 sont en nombre fini (1,2,3,4,6,et 12) par contre ses multiples sont en nombre infini (12,24,36…). Dans ce cas, il n’est pas étonnant d’entendre souvent que l’univers est infini.
Maintenant voilà quelques ressemblances avec le zéro longtemps nié et refusé car lui non plus ne trouvait pas de représentation dans le monde réel. D’autant plus que ces deux faux jumeaux sont mathématiquement liés, puisqu’en divisant le fini par zéro, on obtient l’infini.
Prenons un exemple : divisons 32 (le fini) par 0. Obtenons-nous, l’infini ? Non, car la division par zéro est interdite en mathématiques. Alors essayons d’approcher le résultat, en choisissant des valeurs de plus en plus proches de zéro:
32 : 0,1 = 320
32 : 0,01 = 3200
32 : 0,001 = 32000 …
32 : 0,000 000 001 = 32 000 000 000
L’expérience semble concluante, plus le diviseur se rapproche de zéro et plus le quotient grandit pour tendre vers l'infini!
L'infini est une notion mathématique omniprésente, que parfois on a du mal à maîtriser. C'est un concept qui peut prendre différents sens.
1. Infiniment grand
En analyse, on dit souvent qu'une suite de nombres, ou qu'une fonction, tend vers l'infini. Prenons la suite des nombres pairs: 2,4,6,8,10,... Les valeurs que la suite prend sont de plus en plus grandes, et finissent par dépasser n'importe quel nombre. En termes mathématiques, on dit que la suite devient infiniment grande.
2. Infiniment petit
Prenons maintenant une suite de rationnels qui approche Pi, par exemple 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, et ainsi de suite. Cette suite s'approche de Pi de plus en plus, mais sans jamais atteindre ce nombre. On dit que la suite converge vers Pi, ou encore que un-Pi devient infiniment petit: cette quantité devient plus petite que n'importe quel nombre strictement positif.
3. Un ensemble infini
Qu’est-ce qu'un ensemble infini? C'est un ensemble qui n'est pas fini. Prenons l'ensemble des entiers. Une de ses parties stricte est l'ensemble des nombres pairs. La multiplication par 2 associe à chaque entier un unique entier pair. Donc l'ensemble des nombres pair est infini.
Une fractale est un objet géométrique «infiniment morcelé» (coupé en petits morceuax). Pour obtenir une fractale, il faut la trouver dans la nature. Certains végétaux comme la fougère ou le chou possèdent de splendides fractales.
Si on met deux miroirs face à face on peut créer un objet fractal. Le miroir contient un miroir qui contient un miroir qui contient un miroir …
Et aujourd'hui, il reste encore des problèmes intéressants à résoudre sur l'infini...
